გალილეოს პარადოქსი — როგორ შეიძლება ნაწილი მთელის ტოლი იყოს?
რა არის გალილეოს პარადოქსი?
ყოველდღიური გამოცდილება გვკარნახობს, რომ მთელი თავის ნაწილზე მეტია: ათი წიგნიდან ხუთს თუ გამოვარჩევთ, შერჩეული წიგნების რაოდენობა თავდაპირველზე ნაკლები იქნება. მაგრამ უსასრულო სიმრავლეებთან ეს ნაცნობი წესი ყოველთვის აღარ მოქმედებს.
გალილეოს პარადოქსი გვიჩვენებს, რომ უსასრულო სიმრავლის ნაწილს შეიძლება იმდენივე ელემენტი ჰქონდეს, რამდენიც მთელ სიმრავლეს. ამის დასანახად საკმარისია დადებითი მთელი რიცხვები და მათი კვადრატები შევადაროთ.
რიცხვის კვადრატი ამ რიცხვის საკუთარ თავზე გამრავლებით მიიღება. მაგალითად, 3-ის კვადრატია 9, რადგან 3 × 3 = 9.
112439416525……
ერთი მხრივ, კვადრატები დადებითი მთელი რიცხვების მხოლოდ ნაწილია: 2, 3, 5, 6 და მრავალი სხვა რიცხვი ამ ჩამონათვალში არ გვხვდება. ამიტომ ბუნებრივად გვეჩვენება, რომ კვადრატები ნაკლები უნდა იყოს.
მეორე მხრივ, ყოველ დადებით მთელ რიცხვს ზუსტად ერთი კვადრატი შეესაბამება და ყოველ ასეთ კვადრატს — ზუსტად ერთი დადებითი მთელი რიცხვი. დაწყვილებისას არც ერთი მხარის ელემენტი არ რჩება მეწყვილის გარეშე.
სწორედ აქ ჩნდება პარადოქსი: როგორ შეიძლება რიცხვების მხოლოდ ნაწილს იმდენივე წევრი ჰქონდეს, რამდენიც ყველა რიცხვს ერთად? ეს წინააღმდეგობა გალილეომ უსასრულობის ბუნებაზე მსჯელობისას წარმოაჩინა.
შექმნის ისტორია და კონტექსტი
გალილეო გალილეიმ ეს საკითხი განიხილა 1638 წელს გამოცემულ ნაშრომში, რომელიც მოკლე სახელწოდებით „ორი ახალი მეცნიერება“ არის ცნობილი. წიგნი დიალოგის ფორმითაა დაწერილი და ძირითადად სხეულთა მოძრაობასა და მასალების სიმტკიცეს ეხება, თუმცა მასში უსასრულობისა და უწყვეტობის საკითხებიც განიხილება.
გალილეოს აინტერესებდა, რამდენად შეიძლებოდა სასრული საგნების შესახებ ჩამოყალიბებული წესების უსასრულობაზე გავრცელება. რიცხვებისა და მათი კვადრატების მაგალითი სწორედ ამ სირთულეს წარმოაჩენდა.
მისი დასკვნა თანამედროვე პასუხისგან განსხვავდებოდა: გალილეო მიიჩნევდა, რომ ცნებები „მეტი“, „ნაკლები“ და „ტოლი“ უსასრულო რაოდენობებს ისე ვერ მიესადაგება, როგორც სასრულს. მან სირთულე მკაფიოდ დაინახა, თუმცა უსასრულო სიმრავლეთა შედარების თანამედროვე თეორია ჯერ არ არსებობდა.
წიგნი ნიდერლანდების ქალაქ ლეიდენში გამოქვეყნდა, როდესაც გალილეო სიცოცხლის უკანასკნელ წლებს იტალიაში, შინაპატიმრობაში ატარებდა.
ვინ იყო გალილეო გალილეი?
გალილეო გალილეი (1564–1642) იტალიელი ფიზიკოსი, ასტრონომი და მათემატიკოსი იყო. იგი პიზაში დაიბადა, მოგვიანებით კი პიზისა და პადუის უნივერსიტეტებში ასწავლიდა.
გალილეო იკვლევდა სხეულთა ვარდნასა და მოძრაობას. ბუნების შესწავლისას იგი მათემატიკურ მსჯელობას დაკვირვებასა და ცდას უკავშირებდა, რამაც თანამედროვე ფიზიკის ჩამოყალიბებაში მნიშვნელოვანი წვლილი შეიტანა.
1609 წელს მან ტელესკოპი გააუმჯობესა და ციურ სხეულებზე დაკვირვებისთვის გამოიყენა. აღმოაჩინა იუპიტერის ოთხი დიდი თანამგზავრი და შეისწავლა ვენერას ფაზები. მისი დაკვირვებები აძლიერებდა წარმოდგენას, რომ ყველა ციური სხეული დედამიწის გარშემო არ მოძრაობს.
კოპერნიკის მოძღვრების მხარდაჭერის გამო გალილეო საეკლესიო ხელისუფლებას დაუპირისპირდა. 1633 წელს ინკვიზიციამ იგი გაასამართლა და საკუთარი შეხედულებების უარყოფა აიძულა. სიცოცხლის დარჩენილი წლები მან შინაპატიმრობაში გაატარა, თუმცა სამეცნიერო მუშაობა განაგრძო.
როგორ ხსნის პარადოქსს თანამედროვე მათემატიკა?
XIX საუკუნეში გეორგ კანტორის ნაშრომებმა უსასრულო სიმრავლეების შედარებას ზუსტი მათემატიკური საფუძველი შეუქმნა.
ამ მიდგომით, ორ სიმრავლეს თანაბარი სიმძლავრე აქვს, თუ მათი ელემენტების ერთმანეთთან დაწყვილება შესაძლებელია ისე, რომ თითოეულს ზუსტად ერთი მეწყვილე ჰყავდეს. „სიმძლავრე“ აქ სიმრავლის ელემენტთა რაოდენობის აღმნიშვნელი მათემატიკური ცნებაა.
დადებითი მთელი რიცხვებისა და მათი კვადრატების შემთხვევაში ასეთი დაწყვილება უკვე ვნახეთ. ამიტომ თანამედროვე მათემატიკა მათ თანაბარი სიმძლავრის სიმრავლეებად მიიჩნევს. წინააღმდეგობა აღარ არსებობს: უსასრულო სიმრავლეს შეიძლება მისივე ნამდვილ ნაწილთან თანაბარი სიმძლავრე ჰქონდეს.
მაშ, რატომ გვეჩვენება კვადრატები ნაკლები? იმიტომ, რომ რიცხვების ჩამონათვალში ისინი მართლაც უფრო იშვიათად გვხვდება:
- 1-დან 100-ის ჩათვლით 10 სრული კვადრატია;
- 1-დან 10 000-ის ჩათვლით — 100;
- 1-დან 1 000 000-ის ჩათვლით — 1 000.
ეს კვადრატების სიხშირეს აღწერს მოცემულ შუალედში. სიმძლავრე კი სხვა კითხვას პასუხობს: შესაძლებელია თუ არა ორი სრული, უსასრულო სიმრავლის წევრების ერთმანეთთან დაწყვილება? იშვიათად განაწილება და ნაკლები სიმძლავრე ერთი და იგივე არ არის.
გამოყენება და მნიშვნელობა დღეს
გალილეოს პარადოქსი მათემატიკის სწავლებაში უსასრულობის გასაცნობად გამოიყენება. იგი მარტივი რიცხვებით გვაჩვენებს, რატომ ვერ გადავიტანთ სასრულ რაოდენობებთან დაკავშირებულ ყველა წესს უსასრულო სიმრავლეებზე.
ამ მაგალითით შეიძლება აიხსნას თვლადი უსასრულობაც: უსასრულო სიმრავლე თვლადია, თუ მისი ელემენტების დანომვრა შესაძლებელია — პირველი, მეორე, მესამე და ასე შემდეგ. ეს არ ნიშნავს, რომ დათვლა ოდესმე დასრულდება; ნიშნავს, რომ თითოეულ ელემენტს თავისი ნომერი ექნება.
პარადოქსი ფილოსოფიაშიც მნიშვნელოვანია, რადგან აჩენს კითხვას, რამდენად სანდოა ყოველდღიური გამოცდილებით ჩამოყალიბებული ინტუიცია უსასრულობაზე მსჯელობისას. თანამედროვე განხილვებში იგი ლოგიკურ შეცდომად აღარ მიიჩნევა — ეს უსასრულო სიმრავლეების უჩვეულო, მაგრამ ზუსტად აღწერილი თვისებაა.